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          SPSS实现主成分分析与因子分析(一)

            SPSS实现主成分分析与因子分析(一)

            一、主成分分析

            (1)问题提出

            在问题研究中,为了不遗漏和准确起见,往往会面面俱到,取得大量的指标来进行分析。比如为了研究某种疾病的影响因素,我们可能会收集患者的人口学资料、病史、体征、化验检查等等数十项指标。如果将这些指标直接纳入多元统计分析,不仅会使模型变得复杂不稳定,而?#19968;?#26377;可能因为变量之间的多重共线性引起较大的误差。有没有一种办法能对信息进行浓缩,减少变量的个数,同时消除多重共线性?

            这时,主成分分析隆重登场。

            (2)主成分分析的原理

            主成分分析的本质是坐标的旋转变换,将原始的n个变量进行重新的线性组合,生成n个新的变量,他们之间互不相关,称为n个“成分”。同时按照方差最大化的原则,保证第一个成分的方差最大,然后依次递减。这n个成分是按照方差从大到小排列的,其中前m个成分可能就包含了原始变量的大部分方差(及变异信息)。那么这m个成分就成为原始变量的“主成分”,他们包含了原始变量的大部分信息。

            注意得到的主成分不是原始变量筛选后的剩余变量,而是原始变量经过重新组合后的“综合变量”。

            我们以最简单的二维数据来直观的解释主成分分析的原理。假设现在有两个变量X1、X2,在坐标上画出散点图如下:

          主成分分析与因子分析及SPSS实现(一):原理与方法

            可见,他们之间存在相关关系,如果我们将坐标轴整体逆时针旋转45°,变成新的坐标系Y1、Y2,如下图:

          主成分分析与因子分析及SPSS实现(一):原理与方法

            根据坐标变化的原理,我们可以算出:

            Y1 = sqrt(2)/2 * X1 + sqrt(2)/2 * X2

            Y2 = sqrt(2)/2 * X1 - sqrt(2)/2 * X2

            其中sqrt(x)为x的平方根。

            通过对X1、X2的重新进行线性组合,得到了两个新的变量Y1、Y2。

            此时,Y1、Y2变得不再相关,而且Y1方向变异(方差)较大,Y2方向的变异(方差)较小,这时我们可以提取Y1作为X1、X2的主成分,参与后续的统计分析,因为它携带了原始变量的大部分信息。

            至此我们解决了两个问题?#33322;?#32500;和消除共线性。

            ?#26434;?#20108;维以上的数据,就不能用上面的几何图形直观的表示了,只能通过矩阵变换求解,但是本质思想是一样的。

            二、因子分析

            (一)原理和方法:

            因子分析是主成分分析的扩展。

            在主成分分析过程中,新变量是原始变量的线性组合,即将多个原始变量经过线性(坐标)变换得到新的变量。

            因子分析中,是对原始变量间的内在相关结构进行分组,相关性强的分在一组,组间相关性较弱,这样各组变量代表一个基本要素(公共因子)。通过原始变量之间的复杂关系对原始变量进行分解,得到公共因子和特殊因子。将原始变量表示成公共因子的线性组合。其中公共因子是所有原始变量中所共同具有的特征,而特殊因子则是原始变量所特有的部分。因子分析强调对新变量(因子)的实际意义的解释。

            举个例子:

            比如在市场调查中我们收集了?#31216;?#30340;五项指标(x1-x5):味道、价格、风味、是否快餐、能量,经过因子分析,我们发现了:

            x1 = 0.02 * z1 + 0.99 * z2 + e1

            x2 = 0.94 * z1 - 0.01 * z2 + e2

            x3 = 0.13* z1 + 0.98 * z2 + e3

            x4 = 0.84 * z1 + 0.42 * z2 + e4

            x5 = 0.97 * z1 - 0.02 * z2 + e1

            (以上的数字代表实际为变量间的相关系数,值越大,相关性越大)

            第一个公因子z1主要与价格、是否快餐、能量有关,代表“价格与营养”

            第二个公因子z2主要与味道、风味有关,代表“口味”

            e1-5是特殊因子,是公因子中无法解释的,在分析中一般略去。

            同时,我们也可以将公因子z1、z2表示成原始变量的线性组合,用于后续分析。

            (二)使用条件:

            (1)样本量足够大。通常要求样本量是变量数目的5倍以上,且大于100例。

            (2)原始变量之间具有相关性。如果变量之间彼此独立,无法使用因子分析。在SPSS中可用KMO检验和Bartlett球形检验来判断。

            (3)生成的公因子要有实?#23454;?#24847;义,必要时可通过因子旋转(坐标变化)来达到。

            三、主成分分析和因子分析的联系与区别

            联系:两者都是降维和信息浓缩的方法。生成的新变量均代表了原始变量的大部分信息?#19968;?#30456;独立,都可?#26434;?#20110;后续的回归分析、判别分析、聚类分析等?#21462;?/p>

            区别:

            (1)主成分分析是按照方差最大化的方法生成的新变量,强调新变量贡献了多大比例的方差,不关心新变量是否有明确的实际意义。

            (2)因子分析着重要求新变量具有实?#23454;?#24847;义,能解释原始变量间的内在结构。

            下一篇文章,将介绍主成分分析和因子分析的在SPSS中的实现。

          分类标签:SPSS  主成分分析  因子分析  

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